Modèles de Structures Aléatoires de Type Réaction-Diffusion - Thèse de Morphologie Mathématique - Luc Decker, Ecole des Mines de Paris (1999)

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4.6 Exploration de nouveaux modèles

Ce chapitre rend brièvement compte d'un travail original que nous avons mené plus récemment avec l'objectif de produire des textures encore inédites par réaction-diffusion. Des comportements dynamiques très complexes seront aussi mis en évidence. Trois approches différentes ont été envisagées, afin d'étendre (ou de modifier) les modèles existants; chacune d'elles a été appliquée à un ou deux modèles uniquement : il ne s'agit pas d'une étude systématique. Par ailleurs, la caractérisation des structures générées reste encore à effectuer au moyen de mesures.

4.6.1 Ajouts d'espèces supplémentaires

Pour construire un nouveau modèle de réaction-diffusion, la première des solutions que nous proposons consiste à ajouter une (voire plusieurs) espèce chimique supplémentaire à un modèle existant. Il reste alors à redéfinir les fonctions de réaction $F_{i}$, de manière à donner un rôle à cette nouvelle espèce, pour introduire un couplage avec les autres espèces. Un choix simple consiste par exemple à ne pas modifier les fonctions $F_{i}$ du modèle original, et à introduire une dynamique linéaire pour l'espèce ajoutée. Dans tous les cas, l'objectif est d'obtenir un modèle certes différent, mais dont le comportement soit compréhensible; la dynamique du modèle initial doit pouvoir se retrouver en partie dans le nouveau modèle. Un autre choix intéressant consiste à attribuer l'une des fonctions $F_{i}$ existantes à la nouvelle espèce, après avoir renommé ses paramètres. Des permutations circulaires de variables ou de paramètres permettent aussi d'obtenir un ensemble symétrique (ou homogène) de fonctions de réaction. Enfin, il est également possible de s'intéresser au rôle des différents paramètres ou termes présents dans les fonctions $F_{i}$.

A partir du modèle de Ginzburg-Landau, nous avons construit deux nouveaux modèles qui continuent à présenter des structures spirales pour des combinaisons précises de paramètres.

Le modèle des Hélices
Ce modèle à trois espèces est basé sur les équations suivantes:

$$\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial Z_{1}}{\partial t} \ = \... ...ert}^{2} \ = \ {Z_{1}}^2 \ + \ {Z_{2}}^2 \ + \ {Z_{3}}^2\\ \end{array} \right.$$ (III.-28)

où $\alpha$, $\gamma_{1}$, $\gamma_{2}$, $\delta_{1}$ et $\delta_{2}$ sont des paramètres de contrôle.

On reconnaitra en partie le modèle complexe de Ginzburg-Landau (équation III-27); le terme ${\left\vert Z \right\vert}^{2}$ a été transposé afin d'intégrer la concentration de la nouvelle espèce. Les fonctions de réaction $F_{1}$ et $F_{2}$ n'ont pas été autrement modifiées; la fonction $F_{3}$ de la nouvelle espèce ne dépend pas de sa concentration $Z_{3}$.

La Figure III-45 présente trois réalisations de ce modèle, pour différentes valeurs des paramètres $\alpha$ et $\delta_{1}$. Dans la situation (a), on a obtenu des structures biphasées quelconques, assez similaires à celles qui sont générées par le modèle de Schlögl. Cependant, les frontières entre régions homogènes (bleues et jaunes) oscillent spatialement : des vagues - ou ondes - arrondies se propagent le long des interfaces, en un mouvement circulaire. Pour la réalisation (b), l'agitation du milieu est beaucoup plus forte. Les vagues ont pris une forte amplitude et donnent un aspect dentelé aux interfaces, qu'elles découpent profondément. On observe également l'amorce de quelques structures spirales. Enfin, l'intérêt de la réalisation (c) est tel que nous avons baptisé ce nouveau modèle à partir de son observation. A la frontière des régions homogènes, des vagues en "dents de scie" se propagent toujours. Mais à présent, on distingue de nombreuses structures singulières qui prennent la forme d' hélices à une ou plusieurs "pales" : il s'agit de régions si peu étendues qu'elles se réduisent à une interface constituée de quelques dentelures disposées symétriquement. Ces hélices sont "naturellement" en rotation; elles sont présentes dans les deux phases. Sur la réalisation présentée, on décompte $15$ hélices simples (à une seule pale), $5$ hélices doubles (à deux pales), une seule hélice triple ainsi qu'une hélice à quatre pales. Toutes ces structures ne sont que transitoires, mais elles se maintiennent durant plusieurs milliers d'itérations. Il est surprenant qu'un modèle de réaction-diffusion puisse produire des comportements aussi complexes - ces hélices ne seraient-elles pas des moteurs chimiques ?

Figure: Simulations du modèle des "Hélices" (extension du modèle de Ginzburg-Landau). Domaines $600 \times 600$. Paramètres communs: $\gamma _{1} = 1.0$, $\gamma _{2} = 1.0$, $\delta _{2} = 1.0$, $D = 0.5$, $K_{r} = 0.10$, $Z_{i}(x, t=0) \approx 0.0$ pour $i = 1, 2, 3$. Concentrations $Z_{3}$ représentées en fausses couleurs.
Figure: Simulations du modèle des "Membranes" (extension du modèle de Ginzburg-Landau). Domaines $600 \times 600$. Paramètres communs: $\alpha _{1} = \alpha _{2} = \beta _{1} = \gamma _{1} = 1.0$, $\beta _{2} = 2.0$, $\gamma _{2} = \delta _{2} = -1.0$, $K_{r} = 0.30$, $Z_{i}(x, t=0) \approx 0.0$ pour $i = 1,2,3,4$. Concentrations $Z_{2}$ représentées en fausses couleurs.

Le modèle des Membranes
Nous avons construit ce modèle à quatre espèces en introduisant des fonctions de réaction toutes semblables, qui sont de la même forme que celles du modèle de Ginzburg-Landau - les variables étant permutées. Comme pour le modèle des Hélices, le module ${\left\vert Z \right\vert}^{2}$ fait intervenir toutes les concentrations. Le système d'équations de réaction-diffusion prend la forme suivante:

$$\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial Z_{1}}{\partial t} \ = \... ...Z_{1}}^2 \ + \ {Z_{2}}^2 \ + \ {Z_{3}}^2 \ + \ {Z_{4}}^2\\ \end{array} \right.$$ (III.-29)

où $\alpha_{i}$, $\beta_{i}$, $\gamma_{i}$, et $\delta_{i}$ sont des paramètres ($i=1,2$).

La réalisation présentée sur la Figure III-46a explique le nom donné à ce nouveau modèle. Le milieu se divise en régions de concentrations homogènes, que l'on assimilera à deux phases différentes. Ces structures montrent une agitation perpétuelle, et entrent en collision. Les zones épaisses sont alors compressées jusqu'à devenir de fines membranes, qui cependant ne cèdent presque jamais. Ce processus se produit de manière identique pour les deux phases; des mouvements de rotation des structures (amorces de spirales) l'accélèrent, et augmentent leurs imbrications. La compression localisée des structures est aussi à l'origine de très nombreuses excroissances, en formes bien reconnaissables de "champignons" ou de "gouttes". Ces excroissances se trouvent souvent à l'extrémité d'une membrane, qui est telle un "fil" laissé par l'étirement de la structure conductrice au cours de sa trajectoire. On pourra percevoir le mode d'évolution du système en comparant les images à $t = 2000$ et $2600$ itérations. Pour ce modèle, l' augmentation de la complexité du milieu en fonction du temps constitue une caractéristique peu commune, en comparaison avec tous les autres modèles déjà présentés. Après $t = 60000$ itérations, le milieu s'est ainsi tranformé en un emmêlement inextricable de membranes reliant des grains plus épais.

Lorsque l'on diminue légèrement le paramètre $\delta_{1}$, les mouvements de rotation augmentent nettement. Des structures aléatoires originales en forme de "croissants" sont d'abord obtenues (Figure III-46b, image de gauche). Progressivement, des enroulements s'organisent à une échelle de plus en plus grande. Pour $t = 7000$ itérations, on distingue déjà qu'une structure spirale unique tend à s'imposer. L'image obtenue à $18000$ itérations montre la même structure après complet développement; on remarquera aussi qu'il s'agit d'une spirale à trois branches. En raison des conditions aux limites périodiques, cette spirale ne parvient pas à se maintenir (elle interfère avec elle-même). Le milieu retourne ensuite dans un état moins organisé, avant qu'une autre spirale ne se forme à nouveau.

4.6.2 Ajouts de termes aux fonctions de réaction

Afin de modifier plus légèrement un modèle, nous avons exploré une autre approche: l'ajout d'un terme "perturbatif" à une fonction de réaction existante. Le principe est d'introduire un terme dont la pondération reste faible par rapport à la fonction initiale, sauf - éventuellement - pour un intervalle réduit de concentrations que l'on choisira. Afin de comprendre l'effet de ce terme additionnel, il est souhaitable qu'il reste très simple; par exemple, il s'agira d'un polynôme d'une seule variable. Pour que son influence soit faible, le terme est multiplié par un coefficient peu élevé. Au cours des premiers essais de simulations, ce coefficient sera proche de zéro (par exemple, $10^{-4}$); puis on l'augmentera graduellement jusqu'à obtenir des modifications dans la morphologie du modèle. L'importance des changements peut ainsi être facilement contrôlée; le résultat est un nouveau modèle, qui reste cependant assez proche du modèle initial.
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Le modèle des Anneaux
Cette méthode a été appliquée au modèle du Brusselator dans le but de générer des structures aléatoires à base d'anneaux, telles qu'elles apparaissent sur la fourrure de certains animaux. L'idée est assez simple : les disques réguliers produits par le Brusselator correspondent à des maxima de la concentration $Z_{1}$. Pour obtenir des anneaux, il serait nécessaire que les concentrations diminuent au centre de ces disques. A la dynamique d'évolution de la concentration $Z_{1}$, nous ajouterons donc un terme du type $-\ \gamma \ {Z_{1}}^3$, qui prend une nette importance lorsque $Z_{1}$ augmente. Les équations de réaction-diffusion de ce nouveau modèle deviennent alors :

$$\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial Z_{1}}{\partial t} \ = \... ...up Z_{2} \ \ + \ \ \beta \ Z_{1} \ - \ {Z_{1}}^2 \ Z_{2}\\ \end{array} \right.$$ (III.-30)

où $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ sont des paramètres.

Pour des combinaisons précises de paramètres, ce modèle permet effectivement d'obtenir des ensembles d'anneaux. Cependant, les structures recherchées ne sont que transitoires - du moins dans les simulations qui ont été produites. La réalisation présentée sur la Figure III-47 montre un comportement oscillant, avec une période d'environ $500$ itérations. Chaque oscillation implique une phase ascendante correspondant à la formation de structures de plus en plus contrastées. Après le passage par un maximum, ces structures s'estompent, puis passent temporairement par un second maximum plus faible. Elles finissent par disparaître presque totalement; le cycle recommence alors. Les premières oscillations ne génèrent que des structures à l'aspect de "taches" (image a), déjà intéressantes par leur plus grande variabilité de formes en comparaison avec les disques du Brusselator. Des anneaux apparaissent lorsque les oscillations suivantes passent par leur maximum principal (image b). Un léger déphasage spatio-temporel peut cependant être constaté, tous les anneaux n'atteignant pas simultanément leur maximum d'intensité. Au cours de leur élargissement progressif, les anneaux se rencontrent et se disloquent (image c). Le maximum secondaire consécutif ne s'accompagne pas toujours de structures bien définies, selon les oscillations. Dans le cas présenté (image d), on observe de très intéressants anneaux brisés, formés de deux arcs de cercle non jointifs. Ce type de structures s'approche bien de certaines taches (ou ocelles) observées dans la nature.

Figure: Réalisation du modèle des "Anneaux". Domaine $700 \times 700$. $Z_{1}(x, t=0) \approx 1.5$, $Z_{2}(x, t=0) \approx 3.0$. Paramètres: $\alpha = 2.0$, $\beta = 4.5$, $\gamma = 0.0205$, $D_{2} / D_{1} = 2.0$, $K_{r} = 0.015$.
Figure: Simulations 2D du modèle de Ginzburg-Landau avec décroissances linéaires des coefficients de diffusion. Domaines $600 \times 600$. Paramètres communs: $\alpha = 1.0$, $\beta = 1.0$, $\gamma = 1$, $Z_{2}(x, t=0) \approx 0.0$.

4.6.3 Variations temporelles des coefficients de diffusion

La dernière approche proposée pour obtenir de nouvelles textures consiste à faire varier les coefficients de diffusion d'une ou plusieurs espèces en fonction du temps. Des phénomènes particulièrement intéressants se produisent lorsqu'ils tendent vers zéro, en forçant ainsi la convergence du système vers une solution stationnaire - pour laquelle les structures ne se déplacent plus. Le principe en est assez intuitif : dans la réalité, de nombreuses réactions s'accompagnent de la solidification de l'un des composants ou de son changement de viscosité. C'est par exemple le cas de réactions de polymérisation. Cependant, la forme générale des équations de réaction-diffusion ne prévoit pas que les coefficients $D_{i}$ puissent dépendre du temps. En fait, ce problème peut être contourné par changement de la variable $t$, en posant $t' = f(t)$ de telle manière que les coefficients de diffusion ne dépendent plus du temps. Il en résulte alors un nouveau modèle de réaction-diffusion.

Nous avons expérimenté des décroissances linéaires des coefficients de diffusion de type :

$$\begin{array}{ll} D_{i}(t) \ = \ D_{i}(0) \ - a \ t \ \ \ & \... ...q \frac{D_{i}(0)}{a}\\ \text{avec} \ a > 0 & \ \\ \end{array}$$ (III.-31)

qui sont identiques pour toutes les espèces, ainsi que des augmentations linéaires du ratio de diffusion entre deux espèces, de la forme :

$$\frac{D_{i}(t)}{D_{j}(t)} \ = \ a \ t \ + \ b \ \ \ \ \ \ \ \ a > 0, \ b > 0$$ (III.-32)

qui ont un intérêt dans le cas d'une instabilité de Turing. Le paramètre $a$ caractérise la vitesse à laquelle la diffusion diminue.

Cette méthode a été appliquée au modèle de Ginzburg-Landau (voir Figure III-48) ainsi qu'au modèle de Maginu (Figure III-49). Une règle commune se dégage des comportements des modèles lorsque les coefficients de diffusion tendent vers zéro. Si le phénomène est lent par rapport à l'évolution du modèle, le résultat final (lorsque $D_{i}$ atteint 0) n'est que peu différent du modèle initial. Les structures obtenues présentent une plus grande finesse, en raison du changement d'échelle provoqué par la diminution continue de la diffusion. Si le phénomène se produit durant la génèse des structures, leur morphologie finale en est complètement transformée. Il s'agit alors d'un couplage entre les réactions, la diffusion, et la "solidification" des constituants; il se produit une compétition entre le développement de structures et leur fixation. Des changements d'échelle importants sont induits durant la morphogénèse. Pour des paramètres $a$ assez proches, les structures obtenues sont très différentes. En fait, la phase de formation des structures dure quelques centaines d'itérations seulement pour la plupart des modèles, en fonction de la force des réactions $K_{r}$. En conséquence, cette phase est très sensible aux variations de diffusion selon qu'elles se produisent plutôt vers son début ou vers sa fin.

[] [] Sur la Figure III-48a, les coefficients de diffusion ont diminué lentement, alors que les structures spirales du modèle de Ginzburg-Landau s'étaient déjà formées presque normalement. Les branches des spirales sont de plus en plus fines lorsque l'on s'approche de leur centre. Le milieu prend ainsi un caractère fractal (peu marqué). Au contraire, lorsque les coefficients de diffusion ont baissé plus rapidement, un milieu aléatoire hiérarchique a été généré (Figure III-48b). Des structures en forme de "bulles" contiennent des populations de spirales de petite taille. Chaque bulle constitue un milieu indépendant; les structures qu'elle contient sont influencées (et déformées) par sa forme, soit les conditions aux limites fixées par son contour. Dans le cas du modèle de Maginu, un labyrinthe est obtenu lorsque le rapport des coefficients de diffusion de l'inhibiteur par rapport à l'activateur augmente lentement (Figure III-49). Ce labyrinthe est similaire à ceux que nous avons déjà présentés; ses parois semblent un peu plus auguleuses. Par contre, nous avons généré une grande variété de structures lorsque $D_{2} / D_{1}$ augmente rapidement; dans ce cas, le coefficient de diffusion de l'activateur tend rapidement vers zéro; l'inhibiteur continue à diffuser normalement. Des structures biphasées d'anneaux et de grains très imbriqués (image b) peuvent alors apparaître. L'image (c) montre un milieu à deux échelles, qui est autodual: à l'intérieur d'une région "bleue" se trouvent des grains "oranges", et réciproquement. Ces grains peuvent aussi remplir tout le milieu, comme sur l'image (d). Dans ce but, on a initialisé le système avec un léger déséquilibre dans la concentration de l'inhibiteur, qui prédomine sur l'activateur; des textures ayant l'aspect de "peau de crocodile" sont alors générées. D'autres structures ayant l'aspect d'empreintes digitales - formées de lignes concentriques - ont aussi été obtenues (image f). Sur l'image (e), on observe une transition entre les structures des images (b) et (f), pour des paramètres intermédiaires. On peut remarquer que la plupart de ces milieux conservent un aspect de "labyrinthe".

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Figure: Simulations 2D du modèle de Maginu avec augmentations linéaires des rapports des coefficients de diffusion $D_{2} / D_{1}$ en fonction du temps. Domaines $600 \times 600$. Paramètres communs: $c = 0.45$, $Z_{1}(x, t=0) \approx 0.0$, $Z_{2}(x, t=0) \approx 0.0$ (sauf simulation d) ). Concentrations $Z_{1}$ représentées en fausses couleurs.

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Decker, Luc. "Modèles de structures aléatoires de type réaction-diffusion". PhD diss. (191 p.), Paris, ENSMP-CMM, 1999.