Modèles de Structures Aléatoires de Type Réaction-Diffusion - Thèse de Morphologie Mathématique - Luc Decker, Ecole des Mines de Paris (1999)

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3.4 Modèle de décomposition réactive multi-espèces

Le modèle de création-annihilation que nous venons de présenter est à l'origine d'une partition du système en régions qui présentent des densités en particules très différentes. Il en résulte que pour ces régions, le transport des particules ne saurait s'appliquer de manière identique (en présence de conditions impliquant un champ de vitesse non nul). Pour ce modèle, l'introduction d'un écoulement des particules, ou encore d'un champ local de déviation, pourrait ainsi conduire à des résultats aberrants, dépourvus de tout sens physique. Il s'agit en particulier d'effets de trame en raison de densités en particules trop faibles. Dans l'exemple du modèle de réaction multi-espèces que nous proposons ici, ces inconvénients n'existent pas.

Considérons un Gaz sur Réseau FHP à trois espèces - c'est à dire avec trois couleurs de particules différentes. Son opérateur de réaction $R$ est construit avec une condition supplémentaire: seuls les changements de couleur des particules sont autorisés. Dans ce cas, il y a conservation du nombre total de particules en chaque noeud (de la matière totale). Par conséquent, les réactions chimiques n'engendrent aucun gradient de pression qui serait à l'origine d'un transport de particules.

Dans notre exemple, nous allons expérimenter les effets d'une règle de réaction très simple: les probabilités de transition $P_{\alpha \beta}$ sont fixées de telle manière qu'une espèce chimique dont la concentration est localement faible, puisse réagir pour se transformer aléatoirement en l'une des autres espèces possibles, de manière équiprobable (pour rappel, l'espèce réactive $\alpha$ est sélectionnée aléatoirement de manière uniforme en chaque site). Toutes les espèces jouent ainsi un rôle interchangeable, et $P_{\alpha \beta}$ ne dépend que de $n_{\alpha}$(x,t), selon la même loi pour chaque espèce. Arbitrairement, une concentration dite "faible" se traduira par $n_{\alpha} \in \{ 1, 2 \}$, quelque soient les concentrations des autres espèces. La Figure III-8 montre l'évolution à long terme d'une réalisation de ce modèle (probabilités $P_{\alpha \beta}$ indiquées en légende), qui est à l'origine de structures aléatoires transitoires. Des comportements très intéressants peuvent être observés, en particulier une décomposition en domaines homogènes qui est similaire à une tension de surface macroscopique montrant une coalescence de domaines. Compte tenu des conditions aux limites périodiques, pour $t = 90000$ il n'existe ainsi plus qu'un seul domaine pour chaque espèce. Cependant, la quantité de matière d'une espèce donnée n'est pas conservée durant l'étape de réaction, comme ce devrait être le cas pour une tension de surface. A ce sujet, nous présenterons un modèle de Gaz sur Réseau constitué de deux fluides immiscibles (le modèle ILG) dans notre dernière partie.

Figure: Simulation d'un modèle de "décomposition réactive" à $3$ espèces (Gaz sur Réseau $R^{2} \circ C \circ T$). Les régions où une espèce est dominante à plus de $50\%$ sont représentées à l'aide d'une teinte de gris distincte par espèce. Les autres mélanges d'espèces sont indifférements représentés en noir. Réseau $500 \times 500$ avec conditions aux limites périodiques. Densités initiales: 0.25 particule/cellule pour chaque espèce. Probabilités de réaction: $P_{\alpha \beta }(n_{\alpha }=1) = 0.10, \ P_{\alpha \beta }(n_{\alpha }=2) = 0.05$ pour $\alpha ,\beta \in \{1,2,3\}$ et $\beta \neq \alpha$.

Concernant notre "décomposition réactive", des évolutions différentes peuvent être
constatées à partir de simulations du même modèle, en modifiant simplement les germes utilisés pour initialiser le générateur de nombres aléatoires. En particulier, d'autres simulations se sont achevées par un front parfaitement droit séparant deux espèces restantes [Decker96]; ce point reflète l'instabilité du modèle. Pour des temps suffisamment grands - de l'ordre de $300\ 000$ itérations pour les dimensions des réseaux utilisés - on estime qu'en général seule une espèce reste présente dans le système. D'autres expériences ont consisté à augmenter le nombre d'espèces en présence, la règle de réaction à appliquer pouvant se généraliser aisément. Une décomposition en domaines similaire a été ainsi observée pour un modèle incluant dix espèces différentes, mais sa convergence était extrêmement lente.

La cinétique du modèle peut également être étudiée: la Figure III-9 donne les courbes des concentrations moyennes des trois espèces (pour la réalisation de la Figure III-8). On observe qu'une nette séparation se produit dès le début de la simulation (après $50$ itérations environ), lorsque l'une des espèces (représentée en blanc sur la Figure III-8) connaît une croissance plus forte au détriment des deux autres. Ce déséquilibre des concentrations moyennes n'apparaît que bien plus tardivement dans les textures générées, alors qu'il est présent presque dès au début de la simulation. La symétrie initiale du modèle est ainsi perdue en raison de fluctuations aléatoires et d'instabilités.

Figure: Cinétiques des trois espèces du modèle de décomposition réactive présenté sur la Figure III-8.

Finalement, nous tirons avantage de ce nouveau modèle pour observer les conséquences de champs de déviation des particules sur le processus de décomposition en domaines. Des conditions d'entraînement des vitesses de type tourbillonnaire (ou vortex) peuvent être imposées en déviant tangentiellement les vitesses d'une partie des particules à travers la surface d'un anneau centré sur le champ de simulation. La force de ce vortex dépend de fait de la densité des noeuds qui ont à subir cette déviation. Cette manière classique de forcer l'écoulement des particules a été introduite par Kadanoff [Kadanoff87] afin de générer des champs de gravité; nous y ferons également appel dans notre dernière partie, en donnant davantage de détails sur la procédure mise en oeuvre. Comme on le constatera sur la Figure III-10, la morphologie des régions en est totalement transformée, et s'adapte à la vorticité locale. L'entraînement des particules s'oppose à la création de domaines homogènes de grande étendue comme sur la simulation de la Figure III-8. De plus, en raison des conditions aux limites périodiques, les déformations des structures résultent des interactions entre une infinité de vortex régulièrements placés sur une grille carrée.

D'autres types d'entraînements ont également été expérimentés: sur la Figure III-11, un écoulement de Poiseuille est imposé dans un canal fermé. Il est ainsi à l'origine de courbures paraboliques dans les formes des structures générées, qui se comportent en quelque sorte comme des marqueurs du flux de particules en plus des réactions entres espèces. Pour ce type d'écoulement, la vitesse des particules est nulle sur les bords horizontaux du domaine (qui sont fermés par un obstacle plan), alors qu'elle est maximale sur son axe central. Lorsque l'on impose en plus un rétrécissement dans un tel canal, des textures extrudées peuvent être obtenues, comme sur la Figure III-12. Grâce à un modèle de type "Lattice Boltzmann", Weimar et Boon [Weimar96] ont également réalisé des simulations qui montrent l'influence d'un écoulement sur la genèse de structures par réaction-diffusion, en présence d'obstacles.

Figure: Simulation d'un modèle de décomposition réactive à $3$ espèces (Gaz sur Réseau), avec déviation des particules dans un champ de vitesse tourbillonnaire en forme d'anneau (diamètre intérieur $300$ unités, épaisseur: $3$ unités). Force du vortex: probabilité de déviation $p=0.06$. Autres paramètres et mode de représentation: voir Figure III-8.

Figure: Décomposition réactive dans un écoulement laminaire de Poiseuille. Bords fermés verticalement, périodiques horizontalement (canal fermé). Probabilité de déviation vers la droite: $p=0.01$. Autres paramètres et mode de représentation: voir Figure III-8.

Figure: Décomposition réactive dans un écoulement laminaire perturbé par un rétrécissement. Bords fermés verticalement, périodiques horizontalement. Probabilité de déviation vers la droite: $p=0.0003$. Autres paramètres et mode de représentation: voir Figure III-8.

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Decker, Luc. "Modèles de structures aléatoires de type réaction-diffusion". PhD diss. (191 p.), Paris, ENSMP-CMM, 1999.