Modèles de Structures Aléatoires de Type Réaction-Diffusion - Thèse de Morphologie Mathématique - Luc Decker, Ecole des Mines de Paris (1999)

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3.2 Construction d'un opérateur de réaction

Des réactions chimiques peuvent être prises en compte dans un Gaz sur Réseau au moyen d'un marquage des particules en fonction de leur espèce chimique, et de modifications locales de ce marquage qui traduisent la transformation chimique des particules se trouvant en un même noeud du réseau. Une telle approche a été envisagée dès les premiers développements du modèle FHP.

3.2.1 Quelques modèles existants

Dans les références [d'Humières87,Clavin88,Zehnlé89], les règles standard de collision entre particules (opérateur $C$) du modèle FHP sont complétées par un simple échange de particules entre espèces, donc avec conservation du nombre de particules. Cette étape est traitée de manière déterministe pour des configurations de collision précises fixées par la stoechiométrie de la réaction - mais dont l'occurence est aléatoire au sein du Gaz sur Réseau. Prenons un exemple: la réaction $A \ + \ B \stackrel{k_{1}}{\ \rightarrow} \ 2 \ C$ est réalisée en tout noeud du réseau où - strictement - une particule $A$ et une particule $B$ entrent en collision. Une telle règle peut être améliorée pour tenir compte des combinaisons de réactions, lorsque plusieurs réactions élémentaires sont susceptibles de se produire en un même noeud. C'est notamment le cas des collisions qui impliquent de nombreuses particules. Ajoutons une réaction $2 \ A \stackrel{k_{2}}{\ \rightarrow} \ B \ + \ C \$ et étudions par exemple la situation d'un noeud où se trouvent $3$ particules A et $2$ particules $B$. Il n'y a alors plus unicité dans les règles applicables; lorsque toutes les particules réagissent, on obtient selon le cas: $4 \ C \ + \ A$, ou $2 \ B \ + \ 3 \ C$. De ce simple exemple apparait l'intérêt d'un opérateur de réaction aléatoire, qui associe une probabilité de réalisation à chacune des solutions possibles d'une configuration donnée. Ces probabilités dépendent directement des constantes cinétiques ( $k_{1}, k_{2},...$), qui jouent le rôle de pondérations permettant de choisir entre les différentes réactions à déclencher.

Dans les travaux conduits par l'équipe du Professeur Boon [Dab89,Dab90], un tel opérateur de réaction aléatoire est introduit afin d'étudier un modèle précis de réaction-diffusion, le modèle de Schlögl. Cependant, dans ce cas il s'agit d'un automate cellulaire implanté sur une grille carrée (en dimension 2), et pour lequel la diffusion des particules ne résulte pas de leurs collisions. Des rotations aléatoires des vitesses des particules y représentent des pseudo-collisions avec d'autres particules virtuelles - il s'agit un mode de diffusion assez proche des marcheurs aléatoires déjà présentés. Pour cet automate cellulaire, l'opérateur de réaction est défini en tant que processus de "naissance et mort" d'une particule; il dépend du nombre de particules par noeud du réseau et de probabilités de transition appropriées. Nous reviendrons sur ce modèle dans la section suivante (3.3).

Une autre variante d'automate cellulaire propre à simuler des réactions chimiques est proposée dans la référence [Karapiperis94]. Contrairement aux précédents, ce modèle n'inclut aucun principe d'exclusion. Le nombre de particules est ainsi illimité en tout noeud du réseau; il correspond de fait à une concentration "entière". La diffusion des particules ne peut alors être assurée que par des marches aléatoires usuelles, sur une grille carrée. Un opérateur aléatoire de réaction permet de faire varier localement le nombre de particules pour chaque espèce, en fonction des constantes cinétiques d'un ensemble de réactions quelconques, comme évoqué précédemment. Cependant, rien n'empèche une explosion du nombre de particules au cours d'une réaction, jusqu'à atteindre des niveaux qui n'ont plus aucun sens physique.

3.2.2 Définition d'un opérateur général de réaction $R$

Les deux automates cellulaires que nous avons cités permettent bien de reproduire la formation d'hétérogénéités de concentrations. Cependant, il est sans doute impossible de combiner réactions chimiques et hydrodynamique dans de tels modèles - d'où l'intérêt porté aux Gaz sur Réseaux.

Nous considérons ici le cas général d'un Gaz sur Réseau à $k$ espèces - obtenu en associant à chaque particule l'une des $k$ espèces possibles. Dans l'implantation de notre modèle, on a $1 \leq k \leq 255$, ce qui autorise donc un très grand nombre d'espèces chimiques. Appelons concentration locale de l'espèce $\alpha$, le nombre $n_{\alpha}(x,t)$ de particules de cette espèce au noeud $x$ et au temps $t$. Pour le modèle FHP-III que nous utilisons, on a ainsi $0 \leq n_{\alpha}(x,t) \leq 7$. Par extension, l'espèce $\alpha = 0$ représentera les vides de la texture - ou pseudo-particules appartenant au vide.

A la règle d'évolution usuelle d'un Gaz sur Réseau - collisions $C$ et translations $T$ - est ajoutée une étape de réaction chimique $R$ définie comme suit: [Decker96,Decker97]

• En tout noeud $x$, une cellule $i$ est tirée au sort de manière uniforme.
• La particule d'espèce $\alpha$ trouvée dans la cellule $i$ est susceptible de réagir pour se transformer en une particule d'espèce $\beta$, avec la probabilité $P_{\alpha \beta}(n_{0}(x,t), n_{1}(x,t), ... n_{k}(x,t))$. Cette dernière dépend ainsi de l'état du noeud $x$ au temps $t$, par l'intermédiaire des concentrations locales des différentes espèces $n_{\gamma}(x,t)$.

Une variante de cet opérateur $R$ consiste à ce que les probabilités de réaction dépendent d'une ou deux espèces seulement - soit $P_{\alpha \beta}(n_{\alpha}(x,t))$ ou encore $P_{\alpha \beta}(n_{\alpha}(x,t), n_{\beta}(x,t))$. Une telle restriction a principalement un intérêt algorithmique puisqu'elle évite de calculer les concentrations locales des $k$ espèces qui pourraient se trouver en $x$ -- pour $k = 255$, une look-up table ne saurait rendre ce service puisqu'un noeud est constitué de 7 cellules codées chacune sur 8 bits.

L'opérateur de réaction que nous avons introduit génère à lui seul un processus de Markov basé sur la matrice de transition $P$. Il est donc possible de déterminer la convergence éventuelle d'un système en l'absence de diffusion, connaissant ses conditions initiales. Il s'agit d'un processus de naissance et mort, qui respecte le principe d'exclusion du Gaz sur Réseau. A chaque application, il y a en effet addition ou suppression au plus d'une seule particule en chaque noeud. Cependant, nous proposons que l'opérateur $R$ puisse être itèré $\nu$ fois afin de contre-balancer l'effet de la diffusion par rapport à la vitesse des réactions. La règle d'évolution élémentaire du Gaz sur Réseau réactif devient:

$$R^{\nu} \ \circ \ C \ \circ \ T$$ (III.-12)

Globalement, il y a combinaison des processus suivants: transport en raison du champ de vitesse $\overrightarrow{u}$ engendré par les collisions et translations des particules, diffusion, et finalement réactions chimiques. Au niveau macroscopique, on s'attend à ce que l'équation vérifiée par la concentration moyenne $\overline{n}_{\gamma}(x,t)$ soit de la forme suivante:

$$\dfrac{\partial \ \overline{n}_{\gamma }}{\partial t} \ + \ div(\... ... + \ F_{\gamma }(\overline{n}_{0 }, \ \overline{n}_{1 },...\ ,\overline{n}_{k})$$ (III.-13)

où $D(\overline{n})$ est le coefficient de diffusion qui dépend de la moyenne du nombre total de particules $n$, alors que $F_{\gamma}(\overline{n}_{0 }, \ \overline{n}_{1 },...\ ,\overline{n}_{k})$ est une fonction qui fait intervenir toutes les espèces et représente l'effet des réactions chimiques.

Dans une approche générale, il serait possible de relier le choix des probabilités de transition du modèle ( $P_{\alpha \beta}$) avec le comportement macroscopique souhaité au travers de la fonction $F$. Cependant, nous préférons illustrer en détail l'utilisation de l'opérateur $R$ dans le but de générer des textures aléatoires. Deux cas seront envisagés: un premier modèle à une seule espèce, et un modèle multi-espèces.

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Decker, Luc. "Modèles de structures aléatoires de type réaction-diffusion". PhD diss. (191 p.), Paris, ENSMP-CMM, 1999.