Modèles de Structures Aléatoires de Type Réaction-Diffusion - Thèse de Morphologie Mathématique - Luc Decker, Ecole des Mines de Paris (1999)

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2.2 Recherche d'une solution exacte

Nous rappelons ici brièvement les étapes qui permettent d'établir la solution exacte de l'équation (III-3), les conditions initiales étant connues; des détails complémentaires se trouvent dans la référence [Jeulin91].

Soit $Z$ le vecteur des concentrations, de dimension $N$ et de composantes $Z_{i}(x,t)$; on note $Z_{0}$ les conditions initiales pour $t = 0$. Soit aussi $\Lambda$ la matrice $N \times N$ des coefficients de réaction $\lambda_{ij}$, et $D$ le vecteur des coefficients de diffusion $D_{i}$. L'équation III-3 peut alors s'écrire sous forme matricielle:

$$\frac{\partial Z_{t}}{\partial t} \ - \ D \ \Delta Z_{t} \ - \ \Lambda Z_{t} \ = \ L \ Z_{t} = F_{t}$$ (III.-6)

où $L$ est un opérateur linéaire

Cette équation admet une solution sous la forme d'une somme de deux produits de convolution par un noyau de Green spatio-temporel $G$ associé à l'opérateur $L$ :

$$Z_{t} \ = \ G *_{(x)} Z_{0} \ + \ G *_{(x,t)} F_{t}$$ (III.-7)

où les symboles $*_{(x)\text{ }}$ et $*_{(x,t)\text{ }}$ désignent respectivement les produits de convolution par rapport à la variable $x$ seule, et par rapport au couple $x, t$.

Lorsque $Z_{0}$ et $F_{t}$ sont des fonctions aléatoires, $Z_{t}$ est obtenu par une intégrale stochastique. Le noyau de Green $G$ peut être établi par transformée de Fourier.

Supposons que la matrice $\Lambda$ soit diagonalisable. Dans ce cas, on effectue un changement linéaire de variable $Y_{t} \ = \ A \ Z_{t}$ tel que $A \ \Lambda \ A^{-1}$ est une matrice diagonale. L'équation (III-6) s'écrit alors:

$$\dfrac{\partial Y_{t}(x)}{\partial t} \ = \ D \Delta Y_{t} \ + \ B Y_{t} \ + \ E_{t}$$ (III.-8)

avec $E_{t}\ = \ A \ F_{t}$

$D$ et $B$ étant diagonales, chaque composante $Y_{jt}$ de $Y_{t}$ est solution d'une équation aux dérivées partielles dépendant d'une seule variable:

$$\dfrac{\partial Y_{jt}(x)}{\partial t} \ = \ D_{j} \Delta Y_{jt} \ + \ b_{j} Y_{jt} \ + \ E_{jt}$$ (III.-9)

Finalement, la solution de l'équation (III-9) dans $R^{n}$ est donnée par

$$Y_{jt} \ = \ p_{t}\exp \left( b_{j}t\right) *Y_{0j} \ + \ \int_{0}^{t}p_{t-u}\exp \left( b_{j}(t-u)\right) *E_{ju}\;du$$ (III.-10)

où $p_{t}$ est le noyau gaussien

$$p_{t} \ = \ \dfrac{1}{(4\pi D t)^{\frac{n}{2}}}\exp \left( -\dfrac{\left\vert x\right\vert ^{2}}{4Dt}\right) t>0$$ (III.-11)

et $\left\vert x\right\vert ^{2} \ = \ \sum_{k = 1}^{k = n} x_{k }^{2}$.

On en déduit $Z_{t}\ =\ A^{-1} \ Y_{t}$.
Connaissant cette solution exacte, on peut alors déterminer - par exemple - l'expression théorique de la covariance de ce modèle [Jeulin91].

Decker, Luc. "Modèles de structures aléatoires de type réaction-diffusion". PhD diss. (191 p.), Paris, ENSMP-CMM, 1999.