Modèles de Structures Aléatoires de Type Réaction-Diffusion - Thèse de Morphologie Mathématique - Luc Decker, Ecole des Mines de Paris (1999)

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1.1 Introduction

Des phénomènes de diffusion sont présents dans de très nombreux domaines de la Physique. La diffusion peut toujours être considérée selon deux approches: du point de vue ondulatoire, et du point de vue particulaire. Dans le premier cas, la diffusion de la chaleur constitue le meilleur exemple. L'approche particulaire concerne davantage la diffusion d'un gaz ou d'un corps en solution. Dans ce deuxième cas, la diffusion se caractérise par un transfert de matière, qui est la réponse d'un milieu à toute modification de la répartition des concentrations. Même à l'équilibre, les échanges de matière se poursuivent continuellement à l'échelle moléculaire: on parle alors d'auto-diffusion.

De manière encore plus générale, et en dehors du domaine de la physique, la diffusion d'une information caractérise le temps nécessaire à sa transmission globale à travers l'espace, que ce soit sur un réseau de communication (tel qu'Internet) ou encore dans un modèle purement virtuel. Imaginons par exemple un modèle fondé sur des messagers aux déplacements aléatoires, capables de s'échanger leurs informations lorsqu'ils se rencontrent. La diffusion d'une information portée par un messager initial unique peut alors être étudiée en tant que phénomène spatio-temporel. En biologie, ce type de modèle "par contamination" est propre à décrire la propagation d'une épidémie dans une population animale (par exemple, le virus de la Rage) ou végétale.

Par la suite, nous restreindrons notre champ d'étude à la diffusion en termes physico-chimiques de concentrations, sans perdre de vue qu'il s'agit d'un concept bien plus général. Les deux principales lois de la diffusion seront rappelées, puis nous donnerons quelques indications sur la mise en oeuvre d'un modèle de diffusion par différences finies.

Decker, Luc. "Modèles de structures aléatoires de type réaction-diffusion". PhD diss. (191 p.), Paris, ENSMP-CMM, 1999.