Plus formellement, les polyèdres aléatoires de Voronoï peuvent être
définis en tant que zones d'influence d'un ensemble de points
aléatoires particuliers, qui correspondent à leur centres.
Soit
un domaine réel, et
un ensemble de
points aléatoires distincts tels
que
. Si
est la distance euclidienne
entre deux points quelconques
et
, la zone d'influence
de l'un des centres
est définie par
![]() |
(I.-4) |
Les centres des polyèdres résultent en général
d'une simulation de points poissonniens : leur répartition est
uniforme à l'intérieur du domaine . Mais d'autres modes
de répartition sont également envisageables, comme nous le
présenterons plus loin.
Les polyèdres sont classiquement déterminés à partir de leurs
frontières (ou faces), qui résultent des intersections des plans
médiateurs associés à tous les couples de centres (
)
qui sont proches voisins. Mais la recherche des polyèdres
qui possèdent une face commune revient à résoudre le problème dual
du graphe de Delaunay qui relie le centre d'un polyèdre aux centres
de ses voisins. A trois dimensions, la résolution analytique du problème
s'avère impossible dès que le nombre
de grains dépasse quelques
centaines, pour des raisons de précision et de temps de calcul lié à la
combinatoire. C'est pourquoi nous avons été amenés à étudier une autre approche.